Вариант II. 6. Отметьте в координатной плоскости точки A(-4;0), B(2;6), C(-4;3), D(4;- 1). Проведите луч AB и отрезок CD. Найдите координаты точки пересечения луча AB и отрезка CD.

Чтобы найти точку пересечения, нам нужно сначала найти уравнения прямых, которым принадлежат луч AB и отрезок CD, а затем решить систему уравнений.

1. Найдем уравнение прямой, содержащей луч AB.
   Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).
2. Найдем коэффициент k для прямой AB:
3. \[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{2 - (-4)} = \frac{6}{2+4} = \frac{6}{6} = 1 \]
4. Подставим координаты точки A(-4;0) и k=1 в уравнение прямой, чтобы найти b:
5. \[ 0 = 1 \times (-4) + b \]
6. \[ 0 = -4 + b \]
7. \[ b = 4 \]
8. Уравнение прямой, содержащей луч AB:
9. \[ y = x + 4 \]
10. Найдем уравнение прямой, содержащей отрезок CD.
11. Найдем коэффициент k для прямой CD:
12. \[ k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{4 - (-4)} = \frac{-4}{4+4} = \frac{-4}{8} = -0.5 \]
13. Подставим координаты точки C(-4;3) и k=-0.5 в уравнение прямой, чтобы найти b:
14. \[ 3 = -0.5 \times (-4) + b \]
15. \[ 3 = 2 + b \]
16. \[ b = 3 - 2 = 1 \]
17. Уравнение прямой, содержащей отрезок CD:
18. \[ y = -0.5x + 1 \]
19. Найдем точку пересечения, приравняв уравнения прямых:
20. \[ x + 4 = -0.5x + 1 \]
21. Соберем x влево, числа вправо:
22. \[ x + 0.5x = 1 - 4 \]
23. \[ 1.5x = -3 \]
24. Найдем x:
25. \[ x = \frac{-3}{1.5} = -2 \]
26. Теперь найдем y, подставив x = -2 в уравнение прямой AB:
27. \[ y = -2 + 4 = 2 \]
28. Координаты точки пересечения: (-2; 2).
29. Проверим, лежит ли точка (-2; 2) на луче AB и отрезке CD.
30. Для луча AB: Точка A(-4;0), B(2;6). x=-2 находится между -4 и 2. y=2 находится между 0 и 6. Точка (-2;2) лежит на луче AB.
31. Для отрезка CD: Точка C(-4;3), D(4;-1). x=-2 находится между -4 и 4. y=2 находится между -1 и 3. Точка (-2;2) лежит на отрезке CD.

Ответ: (-2; 2)