Вариант III, задача 2: В треугольнике СДЕ проведены биссектрисы СК и ДР, пересекающиеся в точке F, причем ∠ДFK = 78°. Найдите ∠СЕД.

∠DFK = ∠CKD = 78° как вертикальные углы. Рассмотрим треугольник CDK: ∠DCK + ∠CDK + ∠CKD = 180°. ∠DCK + ∠CDK = 180° - 78° = 102°. CK и DP - биссектрисы, значит ∠C = 2*∠DCK и ∠D = 2*∠CDK. Следовательно, ∠C + ∠D = 2*(∠DCK + ∠CDK) = 2*102° = 204°. В треугольнике CDE: ∠E = 180° - (∠C + ∠D) = 180° - 204° = -24°. Это невозможно, т.к. угол не может быть отрицательным. В условии есть ошибка. Предположим, что ∠DFK = 78° это ∠CFD. ∠CFD = 78°, ∠CKD = 180° - 78° = 102°. В треугольнике CDK: ∠DCK + ∠CDK + ∠CKD = 180°. ∠DCK + ∠CDK = 180° - 102° = 78°. CK и DP - биссектрисы, значит ∠C = 2*∠DCK и ∠D = 2*∠CDK. Следовательно, ∠C + ∠D = 2*(∠DCK + ∠CDK) = 2*78° = 156°. В треугольнике CDE: ∠E = 180° - (∠C + ∠D) = 180° - 156° = 24°. Ответ: ∠CED = 24°.