Вариант IV, задача 2: В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и BN, пересекающиеся в точке К, причем ∠AKN = 58°. Найдите ∠ACB.

∠AKN = ∠MKB = 58° как вертикальные углы. Рассмотрим треугольник ABK: ∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180°. ∠BAK + ∠ABK = 180° - ∠AKB = 180° - 58° = 122°. Т.к. AM и BN биссектрисы, то ∠A = 2*∠BAK и ∠B = 2*∠ABK. Следовательно, ∠A + ∠B = 2*(∠BAK + ∠ABK) = 2*122° = 244°. В треугольнике ABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 244° = -64°. Это невозможно. В условии ошибка. Предположим, что ∠AKN = 58° это ∠AKB. В треугольнике ABK: ∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180°. ∠BAK + ∠ABK = 180° - ∠AKB = 180° - 58° = 122°. Т.к. AM и BN биссектрисы, то ∠A = 2*∠BAK и ∠B = 2*∠ABK. Следовательно, ∠A + ∠B = 2*(∠BAK + ∠ABK) = 2*122° = 244°. Значит ∠A + ∠B = 244 не возможно Пусть ∠AKN = 58. Тогда угол ∠AKB = 180 - 58 = 122. Тогда углы при основании = (180 - 122)/2 = 29 Тогда углы A = 58 B = 58 Тогда угол C = 180 - (58 + 58) = 64 Ответ: ∠ACB = 64°.