Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, F - произвольная точка внутри него. Докажем, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Проведем через точку F прямую, параллельную сторонам BC и AD. Она разделит параллелограмм на два меньших параллелограмма. Обозначим точки пересечения этой прямой со сторонами AB и CD как E и G соответственно.

Площадь треугольника BFC равна половине площади параллелограмма EBCG, так как у них общее основание BC и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми).

Аналогично, площадь треугольника AFD равна половине площади параллелограмма AEGD.

Тогда сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине суммы площадей параллелограммов EBCG и AEGD, то есть половине площади параллелограмма ABCD.

Ответ: Сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.