Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 2. \(\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}}\).

Положим \(t=\sqrt[3]{x}\), тогда \(x=t^3\) и при \(x\to1\) имеем \(t\to1\). Используем разность квадратных корней:

\(\displaystyle \sqrt{1+t^3}-\sqrt2\,t=\frac{1+t^3-2t^2}{\sqrt{1+t^3}+\sqrt2\,t}=\frac{(t-1)(t^2-t-1)}{\sqrt{1+t^3}+\sqrt2\,t}\).

Поэтому

\(\displaystyle \frac{t-1}{\sqrt{1+t^3}-\sqrt2\,t}=\frac{\sqrt{1+t^3}+\sqrt2\,t}{t^2-t-1}\).

Подставляя \(t=1\), получаем \(\frac{2\sqrt2}{-1}=-2\sqrt2\). Но в исходном знаменателе \(\sqrt{2x}=\sqrt2\sqrt{x}=\sqrt2\,t^{3/2}\), а не \(\sqrt2\,t\). Поэтому применим эквивалентности при \(x\to1\): \(\sqrt[3]{x}-1\sim\frac{x-1}{3}\), а \(\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}\sim-\frac{x-1}{2\sqrt2}\).

Следовательно, предел равен \(\displaystyle \frac{1/3}{-1/(2\sqrt2)}=-\frac{2\sqrt2}{3}\).

Ответ: \(-\frac{2\sqrt2}{3}\).