Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 4. \(\lim_{x\to2}\frac{\ln(x^2-1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}\).

При близких к 2 значениях \(x\) выражение в числителе упрощается:

\(\ln(x^2-1)-\ln(x+1)=\ln\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\ln(x-1)\).

Положим \(u=\sqrt[3]{x-1}\). Тогда \(x-1=u^3\), и при \(x\to2\) имеем \(u\to1\). Предел преобразуется к виду

\(\displaystyle \lim_{u\to1}\frac{\ln(u^3)}{u-1}=3\lim_{u\to1}\frac{\ln u}{u-1}=3\),

поскольку \(\lim_{u\to1}\frac{\ln u}{u-1}=1\).

Ответ: \(3\).