Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 3. \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{\cos 7x-\cos 3x}\).

Применим тождества \(1-\cos 2x=2\sin^2x\) и \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\):

\(\displaystyle \cos7x-\cos3x=-2\sin5x\sin2x\).

Тогда

\(\displaystyle \frac{1-\cos2x}{\cos7x-\cos3x}=-\frac{\sin^2x}{\sin5x\sin2x}\).

Используем \(\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\):

\(\displaystyle -\frac{\sin^2x}{\sin5x\sin2x}\longrightarrow-\frac{1}{5\cdot2}=-\frac1{10}\).

Ответ: \(-\frac1{10}\).