Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 5. \(\lim_{x\to0}\left(2-3\arctg\sqrt{x}\right)^{\frac{2}{\sin x}}\).

Функция определена в окрестности нуля только при \(x\ge0\), поэтому рассматриваем предел справа. При \(x\to0+\) основание стремится к \(2\), а значит, для всех достаточно малых положительных \(x\) оно больше некоторого числа \(c>1\). При этом \(\frac{2}{\sin x}\to+\infty\). Следовательно, основание степени остаётся больше \(c>1\), а показатель неограниченно возрастает.

Значит, выражение неограниченно возрастает к \(+\infty\). Двусторонний предел в вещественной области здесь не рассматривается, так как функция не определена при отрицательных \(x\) около нуля.

Ответ: \(\displaystyle \lim_{x\to0+}\left(2-3\arctg\sqrt{x}\right)^{2/\sin x}=+\infty\).