1. Вычислить производную функции f(x) = ctg² x - cos 2x 2. Найти вторую производную y = (5x²+2x-2)⁴ 3. Тело движется прямолинейно по закону. Найти ускорение точки в указанные моменты времени v(t) = t³-2t; t=2

Решение заданий для первого варианта. 1. Вычислить производную функции $$f(x) = ctg^2 x - cos 2x$$ $$f'(x) = (ctg^2 x)' - (cos 2x)'$$ $$f'(x) = 2 ctg x \cdot (ctg x)' - (-sin 2x) \cdot (2x)'$$ $$f'(x) = 2 ctg x \cdot (-1 - ctg^2 x) + 2 sin 2x$$ $$f'(x) = -2 ctg x - 2 ctg^3 x + 2 sin 2x$$ 2. Найти вторую производную $$y = (5x^2+2x-2)^4$$ $$y' = 4(5x^2+2x-2)^3 \cdot (10x+2)$$ $$y'' = 12(5x^2+2x-2)^2 \cdot (10x+2)^2 + 4(5x^2+2x-2)^3 \cdot 10$$ $$y'' = 12(5x^2+2x-2)^2 (100x^2+40x+4) + 40(5x^2+2x-2)^3$$ 3. Тело движется прямолинейно по закону. Найти ускорение точки в указанные моменты времени $$v(t) = t^3 - 2t; t = 2$$ Ускорение - это производная от скорости: $$a(t) = v'(t)$$ $$v'(t) = (t^3 - 2t)' = 3t^2 - 2$$ $$a(t) = 3t^2 - 2$$ Подставим t=2: $$a(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$$ Ответ: 1. $$f'(x) = -2 ctg x - 2 ctg^3 x + 2 sin 2x$$ 2. $$y'' = 12(5x^2+2x-2)^2 (100x^2+40x+4) + 40(5x^2+2x-2)^3$$ 3. $$a(2) = 10$$