Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: 6) \(xy=4\), \(x=4\), \(y=4\), \(x=0\), \(y=0\).

В первой четверти гипербола пересекает прямую \(y=4\) в точке \((1,4)\), а прямую \(x=4\) — в точке \((4,1)\). Вместе с заданными прямыми она разделяет квадрат \([0,4]\times[0,4]\) на две ограниченные области.

Область под гиперболой включает прямоугольник \(0\le x\le1,\ 0\le y\le4\) и часть при \(1\le x\le4\): \(S_1=4+\int_1^4\frac4x\,dx=4+4\ln4\).

Остаток квадрата имеет площадь \(S_2=16-S_1=12-4\ln4\).

Ответ: площади двух областей — \(4+4\ln4\) и \(12-4\ln4\) кв. ед.