5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 3 и 48 см. Найдите: а) эту высоту; б) катеты треугольника; в) площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота CH проведена к гипотенузе AB. AH = 3 см, HB = 48 см.

а) Найдем высоту CH.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу:

$$CH = \sqrt{AH \cdot HB} = \sqrt{3 \cdot 48} = \sqrt{144} = 12$$ см.

б) Найдем катеты треугольника AC и BC.

Катет есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

$$AC = \sqrt{AB \cdot AH} = \sqrt{(3 + 48) \cdot 3} = \sqrt{51 \cdot 3} = \sqrt{153}$$ см.

$$BC = \sqrt{AB \cdot HB} = \sqrt{(3 + 48) \cdot 48} = \sqrt{51 \cdot 48} = \sqrt{2448}$$ см.

в) Найдем площадь треугольника ABC.

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{153} \cdot \sqrt{2448} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{153 \cdot 2448} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{374544} = \frac{1}{2} \cdot 612 = 306$$ см².

Или можно найти площадь, зная гипотенузу AB = 51 см и высоту CH = 12 см:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 51 \cdot 12 = 51 \cdot 6 = 306$$ см².

Ответ: а) 12 см; б) $$\sqrt{153}$$ см, $$\sqrt{2448}$$ см; в) 306 см²