540 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288л см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Ответ: радиус 6 см, высота 18 см

1. Шаг 1: Записываем условие и формулу полной поверхности цилиндра

Пусть радиус основания цилиндра равен r см, тогда высота цилиндра равна r + 12 см. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[S = 2\pi r(r + h)\] Где r - радиус, h - высота цилиндра. По условию, площадь равна 288π см². Составим уравнение:

2. Шаг 2: Решаем уравнение относительно радиуса

\[2\pi r(r + r + 12) = 288\pi\] Разделим обе части на 2π: \[r(2r + 12) = 144\] \[2r^2 + 12r - 144 = 0\] Разделим на 2: \[r^2 + 6r - 72 = 0\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-72) = 36 + 288 = 324\] \[r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12\] Так как радиус не может быть отрицательным, то r = 6 см.

3. Шаг 3: Находим высоту цилиндра

\[h = r + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ см}\]

Ответ: радиус 6 см, высота 18 см