Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

1. Так как AA₁ ⟂ BC, а A₁ лежит на BC, ∠AA₁B = 90°.
2. Так как BB₁ ⟂ AC, а B₁ лежит на AC, ∠AB₁B = 90°.
3. Следовательно, ∠AA₁B + ∠AB₁B = 180°, поэтому точки A, A₁, B, B₁ лежат на одной окружности.
4. Углы AA₁B₁ и ABB₁ — вписанные углы этой окружности, опирающиеся на одну хорду AB₁. Поэтому они равны.

∠AA₁B₁ = ∠ABB₁, что и требовалось доказать.