9. x-5 2x-2 < x²-2x+1 5x²-4x-1

Решим неравенство методом интервалов.

1) Преобразуем неравенство:

• $$\frac{x - 5}{x^2 - 2x + 1} - \frac{2x - 2}{5x^2 - 4x - 1} < 0$$
• $$\frac{x - 5}{(x - 1)^2} - \frac{2(x - 1)}{(5x + 1)(x - 1)} < 0$$
• $$\frac{x - 5}{(x - 1)^2} - \frac{2}{5x + 1} < 0$$
• $$\frac{(x - 5)(5x + 1) - 2(x - 1)^2}{(x - 1)^2(5x + 1)} < 0$$
• $$\frac{5x^2 + x - 25x - 5 - 2(x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)^2(5x + 1)} < 0$$
• $$\frac{5x^2 - 24x - 5 - 2x^2 + 4x - 2}{(x - 1)^2(5x + 1)} < 0$$
• $$\frac{3x^2 - 20x - 7}{(x - 1)^2(5x + 1)} < 0$$

2) Найдем нули числителя:

• $$3x^2 - 20x - 7 = 0$$
• $$D = 400 + 4(3)(7) = 400 + 84 = 484$$
• $$x = \frac{20 \pm 22}{6}$$
• $$x_1 = \frac{20 - 22}{6} = -\frac{1}{3}$$
• $$x_2 = \frac{20 + 22}{6} = 7$$

3) Найдем нули знаменателя:

• $$(x - 1)^2 = 0$$
• $$x = 1$$
• $$5x + 1 = 0$$
• $$x = -\frac{1}{5}$$

4) Отметим нули на числовой прямой:

       +            -              +            -
---------------------------------------------------
----(-1/3)----(-1/5)-------(1)--------(7)--------> x

5) Определим знаки функции на каждом интервале:

• $$x < -\frac{1}{3}$$: (+)/(+)(-) = -
• $$-\frac{1}{3} < x < -\frac{1}{5}$$: (+)/(+)(+) = +
• $$-\frac{1}{5} < x < 1$$: (-)/(+)(+) = -
• $$1 < x < 7$$: (-)/(+)(+) = -
• $$x > 7$$: (+)/(+)(+) = +

6) Запишем ответ, учитывая знак неравенства (<0):

$$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{5}; 1) \cup (1; 7)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{5}; 1) \cup (1; 7)$$