7. y = √x²+1 / x+1

Для нахождения производной функции $$y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$$ используем правило дифференцирования частного: $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$, где $$u = \sqrt{x^2 + 1}$$ и $$v = x + 1$$.

1. Находим производную $$u$$ по $$x$$: $$u' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$.
2. Находим производную $$v$$ по $$x$$: $$v' = (x + 1)' = 1$$.
3. Подставляем в формулу производной частного: $$y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} (x + 1) - \sqrt{x^2 + 1} \cdot 1}{(x + 1)^2}$$.
4. Упрощаем выражение, умножая числитель и знаменатель на $$\sqrt{x^2 + 1}$$: $$y' = \frac{x(x + 1) - (x^2 + 1)}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 + x - x^2 - 1}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x - 1}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 1}}$$.

Ответ: $$y' = \frac{x - 1}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 1}}$$