6. y = √x cos² x

Для нахождения производной функции $$y = \sqrt{x} \cos^2 x$$ используем правило произведения: $$y' = u'v + uv'$$, где $$u = \sqrt{x}$$ и $$v = \cos^2 x$$.

1. Находим производную $$u$$ по $$x$$: $$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
2. Находим производную $$v$$ по $$x$$: $$v' = (\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$$.
3. Подставляем в формулу производной произведения: $$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos^2 x + \sqrt{x} (-2\sin x \cos x)$$.
4. Упрощаем выражение: $$y' = \frac{\cos^2 x}{2\sqrt{x}} - 2\sqrt{x} \sin x \cos x = \frac{\cos^2 x - 4x \sin x \cos x}{2\sqrt{x}}$$.

Ответ: $$y' = \frac{\cos^2 x - 4x \sin x \cos x}{2\sqrt{x}}$$