5. y = ln x / √x²+1

Для нахождения производной функции $$y = \frac{\ln x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ используем правило дифференцирования частного: $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$, где $$u = \ln x$$ и $$v = \sqrt{x^2 + 1}$$.

1. Находим производную $$u$$ по $$x$$: $$u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$$.
2. Находим производную $$v$$ по $$x$$: $$v' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$.
3. Подставляем в формулу производной частного: $$y' = \frac{\frac{1}{x} \sqrt{x^2 + 1} - \ln x \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} - \frac{x \ln x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$$.
4. Упрощаем выражение, умножая числитель и знаменатель на $$x\sqrt{x^2 + 1}$$: $$y' = \frac{(x^2 + 1) - x^2 \ln x}{x(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$.

Ответ: $$y' = \frac{x^2 + 1 - x^2 \ln x}{x(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$