12) y = 5 sin³ (3x+\frac{\pi}{2})

12) Найти производную функции $$y = 5sin^3(3x + \frac{\pi}{2})$$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: если $$y = k \cdot (sin(u))^n$$, то $$y' = k \cdot n \cdot (sin(u))^{n-1} \cdot cos(u) \cdot u'$$.

В данном случае, $$u = 3x + \frac{\pi}{2}$$, $$k = 5$$, $$n = 3$$.

Тогда:

$$y' = 5 \cdot 3 \cdot sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot cos(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot (3x + \frac{\pi}{2})'$$

$$y' = 15sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot cos(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot 3$$

$$y' = 45sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot cos(3x + \frac{\pi}{2})$$.

Ответ: $$y' = 45sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot cos(3x + \frac{\pi}{2})$$