11) y = 4ctg (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})

11) Найти производную функции $$y = 4ctg(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: если $$y = k \cdot ctg(u)$$, то $$y' = k \cdot (-\frac{1}{sin^2(u)}) \cdot u'$$.

В данном случае, $$u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$$, $$k = 4$$.

Тогда:

$$y' = 4 \cdot (-\frac{1}{sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})}) \cdot (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})'$$

$$y' = -\frac{4}{sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \cdot \frac{1}{2}$$

$$y' = -\frac{2}{sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})}$$

Ответ: $$y' = -\frac{2}{sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})}$$