Задача 6. [1 балл] Сравните $$\sqrt{7+\sqrt{20}+\sqrt{14}}$$ и $$1+\sqrt{6}$$.

Сравним числа $$\sqrt{7+\sqrt{20}+\sqrt{14}}$$ и $$1+\sqrt{6}$$. Для этого возведем оба числа в квадрат.

Первое число в квадрате:
$$(\sqrt{7+\sqrt{20}+\sqrt{14}})^2 = 7 + \sqrt{20} + \sqrt{14}$$

Второе число в квадрате:
$$(1 + \sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7 + 2\sqrt{6}$$

Сравним полученные выражения: $$7 + \sqrt{20} + \sqrt{14}$$ и $$7 + 2\sqrt{6}$$. Вычтем 7 из обоих выражений, получим $$\sqrt{20} + \sqrt{14}$$ и $$2\sqrt{6}$$. Возведем оба выражения в квадрат.

Первое выражение в квадрате:
$$(\sqrt{20} + \sqrt{14})^2 = 20 + 2\sqrt{20 \cdot 14} + 14 = 34 + 2\sqrt{280} = 34 + 2\sqrt{4 \cdot 70} = 34 + 4\sqrt{70}$$

Второе выражение в квадрате:
$$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$$

Сравним полученные выражения: $$34 + 4\sqrt{70}$$ и $$24$$. Так как $$4\sqrt{70} > 0$$, а $$34 > 24$$, то $$34 + 4\sqrt{70} > 24$$. Значит, $$\sqrt{20} + \sqrt{14} > 2\sqrt{6}$$. Тогда $$\sqrt{7+\sqrt{20}+\sqrt{14}} > 1+\sqrt{6}$$

Ответ: $$\sqrt{7+\sqrt{20}+\sqrt{14}} > 1+\sqrt{6}$$