Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаЗадача 1.2. (5 баллов) Новогодняя гирлянда состоит из шаров двух цветов — красных и синих (оба цвета присутствуют). Известно: 1) если между двумя какими-нибудь шарами расположены ровно три шара, то эти два шара одного цвета; 2) если между двумя какими-нибудь шарами расположены ровно шесть шаров, то эти два шара одного цвета. Какое наибольшее количество шаров может быть в такой гирлянде? Приведите пример самой длинной гирлянды, удовлетворяющей условию задачи (цвета обозначьте буквами: К - красный, С — синий).
Ответ:
Для решения этой задачи нужно найти такую последовательность шаров двух цветов (красного и синего), чтобы выполнялись условия:
- Если между двумя шарами три шара, они одного цвета.
- Если между двумя шарами шесть шаров, они одного цвета.
Рассмотрим возможные варианты гирлянд и найдем самую длинную:
Пусть гирлянда начинается с красного шара (К). Тогда:
- К _ _ _ К: между двумя красными три шара, значит, они одного цвета.
- К _ _ _ _ _ _ К: между двумя красными шесть шаров, значит, они одного цвета.
Попробуем построить гирлянду, начиная с К и используя эти условия:
К С С С К С С С К ...
В этой гирлянде между двумя К ровно три шара (С), и между двумя К ровно шесть шаров (С), что соответствует условиям задачи. Чтобы найти наибольшее количество шаров, нужно проверить период этой последовательности.
Последовательность К С С С К повторяется. Длина периода — 5 шаров. Последовательность К С С С С С К также повторяется. Длина периода – 7 шаров.
Гирлянда: К С С С К С С С К С С С К С С С
Давайте попробуем построить гирлянду из 10 шаров: К С С С К С С С К С.
В этой гирлянде между первым и пятым шаром 3 шара, они одного цвета (К). Между первым и восьмым шаром 6 шаров, они одного цвета (К). Значит, гирлянда удовлетворяет условиям.
Давайте попробуем построить гирлянду из 14 шаров: К С С С К С С С К С С С К С.
Эта гирлянда тоже удовлетворяет условиям.
Можно построить гирлянду длиной 10: К С С С К С С С К С.
Наибольшее количество шаров в гирлянде может быть равно 10. Пример такой гирлянды:
К С С С К С С С К С
Ответ: Наибольшее количество шаров - 10. Пример гирлянды: К С С С К С С С К С
Похожие
- Задача 1.1. (5 баллов) Дан многоугольник (см. рис. слева), вырезанный из картона, и показано, как его разрезать на два одинаковых шестиугольника (см. рис. справа). Разрежьте данный многоугольник на два одинаковых десятиугольника. (Одинаковые фигуры совпадают при наложении, при этом их можно поворачивать и переворачивать).
- Задача 1.3. (5 баллов) Репортаж из будущего. Скоростной поезд Москва-Краснодар отходит, когда на дисплее вагонных часов ровно 10:25. На маршруте три остановки (считая конечную). Алиса знает, что до момента первой остановки (и вообще между моментами остановок) проходит не менее двух с половиной часов, но не более семи. При этом в момент каждой остановки поезда она увидит на дисплее те же цифры, что и в Москве, но только одну из них на том же месте, что и на предыдущей станции. Укажите время при- бытия поезда в Краснодар и на каждую из промежуточных остановок (перечислите все возможные варианты).
- Задача 2.1. (7 баллов) В турнире по теннису (каждый играет со всеми участниками по одной партии) участвовали 10 игроков. В каждом матче судьей был один из других участников. а) Могло ли оказаться, что все участники судили одинаковое число матчей? б) Изменится ли ответ в задаче, если в турнире примет участие 9 игроков? Все ответы требуется обосновать (если ответ «да» – приведите пример подходящего расписания, если ответ «нет» – объясните почему).
- Задача 2.2. (7 баллов) Кабинки на колесе обозрения расположены через одинаковые промежутки и пронумерованы по порядку (начиная с №1). Колесо вращается равномерно и каждую минуту в верхней точке оказывается новая кабинка. Первый раз Вася увидел там кабинку №6, а через 25 минут — №8. Сколько всего кабинок могло быть на колесе обозрения? Укажите все варианты. Ответ обоснуйте.
- Задача 2.3. (7 баллов) Трудный случай. На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (все- гда лгут). Началась эпидемия, которая меняет поведение заболевшего: больной рыцарь всегда лжёт, а боль- ной лжец говорит правду. Больные лжецы выздоравливают сами. Больного рыцаря может спасти только новое лекарство, которое смертельно опасно для всех остальных жителей острова. Два жителя острова, Альфа и Бета, обладают правдивой информацией друг о друге, но говорят ли они правду — зависит от диагноза. Альфа говорит: «Мы оба рыцари и оба больны». Бета говорит: «По крайней мере, один из нас — здоровый лжец». Кому из двух жителей острова следует дать лекарство? Кому точно его давать нельзя?
- Задача 2.4. (7 баллов) Винни-Пух и Кролик вышли одновременно из своих домиков и направились навстречу друг другу по прямой дороге. Обычно они ходят с одинаковыми скоростями, но в этот раз Винни- Пух половину времени до встречи сочинял свои «шумелки-сопелки» и шел вдвое медленнее. Да и Кролик половину пути до места встречи думал «о положении земной оси» и тоже шел вдвое медленнее. После чего каждый из них, покончив с любимым делом, шел как обычно. Когда они встретились, оказалось, что один из них прошел на 80 метров больше, чем другой. Кто из них прошел большее расстояние, и как далеко их дома находятся друг от друга?
- Задача 2.5. (7 баллов) Компьютерная игра. Дано выражение вида: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В начале игры вместо каждого знака на экране появляется случайным образом «плюс» или «минус». За один ход можно одновременно поменять два знака, стоящие рядом с каким-нибудь числом, на противо- положные. Требуется, сделав не более 12 ходов, получить пример с ответом, кратным 11. Всегда ли можно этого добиться? Если ответ «да», то опишите способ, если ответ «нет» — объясните почему.
