Задача 3: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 11, DK = 15, BC = 22. Найдите AD.

Решение: 1. По условию задачи, ABCD - вписанный четырёхугольник, а прямые AB и CD пересекаются в точке K. Следовательно, можно применить теорему о секущихся. 2. По теореме о секущихся, BK * AK = DK * CK. 3. AK = AB + BK, CK = CD + DK. 4. Пусть AD = x. Тогда AK * BK = CK * DK, значит (AB + 11)*11 = (CD + 15)*15. 5. Треугольники BCK и ADK подобны, значит BK/AD = CK/BC или BK/DK = AD/BC. Имеем 11/15 = x/22. Отсюда x = (11*22)/15 = 242/15. 6. Треугольники BCK и ADK подобны, так как угол B = углу D и угол C = углу A. 7. Из подобия следует: BK/AK = CK/DK. BK * (BK + AB) = DK * (DK + DC). Из подобия треугольников ADK и CBK следует: AD/BC = DK/BK, AD/22 = 15/11. AD = (22 * 15)/11 = 2 * 15 = 30. Ответ: AD = 30.