Задача 4. Дана трапеция ОКМИ (ON большее основание). Боковые стороны трапеции продолжены до пересечения в точке S. 1) Докажите, что ASON подобен ASKM. 2) Найдите основание ОМ, если известно: a) SK = 8, OK = 4, КМ = 18; 6) MS14, MN = 7, КМ = 12.

Ответ: 2) a) ON = 36, б) ON = 24

Разбираемся:

1) Докажем, что ΔSON подобен ΔSKM.

• ∠OSN = ∠KSM (вертикальные углы).
• ∠SON = ∠SKM (соответственные углы при ON || KM и секущей OK).

Следовательно, ΔSON подобен ΔSKM по двум углам.

2) Найдем основание ON, если известно:

a) SK = 8, OK = 4, KM = 18.

Треугольники подобны, значит \(\frac{ON}{KM} = \frac{SO}{SK}\).

SO = SK + OK = 8 + 4 = 12

\[\frac{ON}{18} = \frac{12}{8}\] \[ON = \frac{12 \cdot 18}{8} = \frac{216}{8} = 27\]

ON = 27

б) MS = 14, MN = 7, KM = 12.

\[\frac{ON}{KM} = \frac{SN}{SM}\]

SM = SN + MN = SN + 7

\[\frac{ON}{12} = \frac{SN}{14}\] \[SN = SM - MN \Rightarrow SN=SM-7\] \[\frac{SN+7}{12} = \frac{SN}{14}\] \[14(SN+7) = 12SN\] \[14SN + 98 = 12SN\] \[2SN = -98\]

Т.к. не может быть отрицательной длины, то нужно составить пропорцию SN/SM, а MS/NS

Т.к. \(\frac{ON}{KM} = \frac{MS}{NS} \Rightarrow \frac{ON}{KM} = \frac{MS}{MN+NS}\)

Обозначим SN = x

\[\frac{ON}{12} = \frac{14}{7+x}\] \[ON = \frac{12 \cdot 14}{7+x}\]

Чтобы решить эту задачу, необходимо составить систему уравнений или воспользоваться дополнительными данными, которые, к сожалению, отсутствуют. Если предположить, что SN=14, то

\[ON = \frac{12*14}{7+14} = \frac{168}{21} = 8\]

Если нужно было найти KM, то все верно, если ON. то, к сожалению, недостаточно данных

Если SN= x, тогда SM = MS = 14 и MN =7, тогда NS = SM - MN = 14 - 7 = 7

\[\frac{ON}{12} = \frac{14}{x+7}\]

Чтобы найти ON необходимо знать SN, чего нет, но его можно найти из подобия треугольников NSM и ONS:

\[\frac{ON}{KM} = \frac{NS}{MS} = \frac{7}{14} \Rightarrow \frac{1}{2} \] \[ON = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

ON=6

Ответ: 2) a) ON = 27, б) ON = 6