Задача 8. В прямоугольном треугольнике МРК проведена высота КН к гипотенузе МР. 1) Найдите отрезки МН и РН, если МР = 9, МК = 6; 2) Найдите высоту НК, если отрезки НМ и НР равны 4 и 9.

Ответ: 1) MH = 4, PH = 5; 2) HK = 6

Разбираемся:

1) Найдем отрезки MH и PH, если MP = 9, MK = 6.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MPK с высотой KH. Обозначим MH = x, тогда PH = MP - MH = 9 - x.

Треугольник MKH также прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\[MK^2 = MH^2 + HK^2\] \[6^2 = x^2 + HK^2 \quad (1)\]

Треугольник KHP также прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\[KP^2 = PH^2 + HK^2\] \[KP^2 = (9 - x)^2 + HK^2 \quad (2)\]

Из подобия треугольников MKH и KPH следует:

\[\frac{MH}{KH} = \frac{KH}{PH}\] \[KH^2 = MH \cdot PH = x(9 - x) \quad (3)\]

Подставим (3) в (1):

\[36 = x^2 + x(9 - x)\] \[36 = x^2 + 9x - x^2\] \[36 = 9x\] \[x = 4\]

Тогда MH = 4, PH = 9 - 4 = 5.

2) Найдем высоту HK, если отрезки HM и HP равны 4 и 9.

Используем свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла:

\[HK^2 = HM \cdot HP\] \[HK^2 = 4 \cdot 9 = 36\] \[HK = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: 1) MH = 4, PH = 5; 2) HK = 6