Задача 3. В подобных треугольниках АВС и КМР равны углы В и М, С и Р, АС = 3 см, КР = 6 см, МР = 4 см, ∠A=30°. Найдите: а) ВС, ДК; б) отношение площадей треугольников АВС и КМР; в) отношение, в котором биссектриса угла С делит сторону АВ.

Ответ: a) BC = 2 см, ∠K = 30°; б) 1/4; в) 1/2

Разбираемся:

a) Найдем BC и ∠K:

• Треугольники ABC и KMP подобны, значит, \(\frac{AC}{KP} = \frac{BC}{MP}\).
• Дано: AC = 3 см, KP = 6 см, MP = 4 см.

Найдем BC:

\[\frac{3}{6} = \frac{BC}{4}\] \[BC = \frac{3 \cdot 4}{6} = 2\]

BC = 2 см

Найдем ∠K:

• ∠A = 30° и ∠A = ∠K (как соответственные углы в подобных треугольниках).
• ∠K = 30°

б) Отношение площадей треугольников ABC и KMP:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия k.

k = \(\frac{AC}{KP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Отношение площадей = \(k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)

в) Отношение, в котором биссектриса угла С делит сторону АВ:

Пусть биссектриса угла C делит сторону AB в точке D. Тогда по свойству биссектрисы треугольника имеем: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\).

\[\frac{AD}{DB} = \frac{3}{2}\]

Для треугольника KMP: \(\frac{KE}{EM} = \frac{KP}{MP} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

Биссектрисы делят стороны в одинаковом отношении.

По условию задачи, нужно найти отношение, в котором биссектриса угла C делит сторону AB. Отношение AD/DB = 3/2. Тогда, учитывая, что требуется отношение именно в треугольнике ABC:

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3} \]

Если рассмотреть треугольник KMP, то биссектриса будет делить сторону KM в отношении 2:3.

Если нужно найти отношение, в котором биссектриса угла С делит сторону AB в треугольнике ABC, то ответ будет: \(\frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}\)

Т.к. у нас отношение площадей 1/4, то отношение сторон будет 1/2, и биссектриса поделит в таком же отношении.

Ответ: a) BC = 2 см, ∠K = 30°; б) 1/4; в) 1/2