Задача 5: Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 11 см и 16 см. Найдите проекции данных наклонных, если одна из проекций на 9 см меньше другой.

Пусть $$x$$ - длина меньшей проекции, тогда $$x + 9$$ - длина большей проекции. Обозначим длину перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, как $$h$$.

Тогда, по теореме Пифагора, для первой наклонной: $$h^2 + x^2 = 11^2$$, для второй: $$h^2 + (x+9)^2 = 16^2$$.

Получаем систему уравнений:
\(\begin{cases}\) h^2 + x^2 = 121 \\ h^2 + (x+9)^2 = 256 \(\end{cases}\)

Выразим $$h^2$$ из первого уравнения: $$h^2 = 121 - x^2$$.

Подставим во второе уравнение: $$121 - x^2 + (x+9)^2 = 256$$.

$$121 - x^2 + x^2 + 18x + 81 = 256$$

$$18x + 202 = 256$$

$$18x = 54$$

$$x = 3$$ см.

Тогда вторая проекция равна $$x + 9 = 3 + 9 = 12$$ см.

Ответ: Проекции наклонных равны 3 см и 12 см.