Задача 6: Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 18 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, $$c$$ - боковая сторона, $$d$$ - диагональ. Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, то в трапеции можно провести высоту из вершины меньшего основания к большему. Так как трапеция равнобокая, то высота разбивает большее основание на отрезки $$x$$ и $$y$$, где $$x = \frac{b-a}{2} = \frac{18-14}{2} = 2$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $$c$$, высотой $$h$$ и отрезком $$x$$. А также прямоугольный треугольник, образованный диагональю $$d$$ и отрезком $$14+2=16$$см. Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной и диагональю. Т.к. они перпендикулярны. Теорема Пифагора: $$a^2 + c^2 = d^2$$. Проведем высоту $$h$$. $$h^2+ 2^2 = c^2$$ и $$h^2+(14+2)^2 = d^2$$ Также $$d^2 = (b+a)/2 * (b-a)/2$$, $$c=\sqrt{a*b}$$ - среднее геометрическое оснований $$c=\sqrt{14*18}=\sqrt{252} \approx 15.87$$см Ответ: боковая сторона равна приблизительно 15.87 см.