Задача 4: На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP : PC = 5 : 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону AC, если PN = 15 см.

Поскольку PN || AC, треугольники BPN и BAC подобны (по двум углам). Из подобия следует: \(\frac{BP}{BC} = \frac{PN}{AC}\) Мы знаем, что BP : PC = 5 : 6, значит, BP = 5x, PC = 6x, и BC = BP + PC = 5x + 6x = 11x. Тогда \(\frac{BP}{BC} = \frac{5x}{11x} = \frac{5}{11}\). Также известно, что PN = 15 см. Подставим известные значения в пропорцию: \(\frac{5}{11} = \frac{15}{AC}\) Найдем AC: \(AC = \frac{15 \cdot 11}{5} = \frac{165}{5} = 33\) см. Ответ: AC = 33 см.