Задача 5: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, AO = 24 см, OC = 16 см, а отрезок OD на 9 см больше отрезка BO. Найдите диагональ BD трапеции.

Поскольку AD и BC – основания трапеции, треугольники BOC и DOA подобны (по двум углам). Из подобия следует: \(\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA}\) Мы знаем, что AO = 24 см, OC = 16 см, и OD = BO + 9 см. Подставим известные значения в пропорцию: \(\frac{BO}{BO + 9} = \frac{16}{24}\) Сократим дробь \(\frac{16}{24}\) на 8: \(\frac{16}{24} = \frac{2}{3}\) Тогда: \(\frac{BO}{BO + 9} = \frac{2}{3}\) Умножим обе части на 3(BO + 9): 3BO = 2(BO + 9) 3BO = 2BO + 18 BO = 18 см Тогда OD = BO + 9 = 18 + 9 = 27 см. Диагональ BD = BO + OD = 18 + 27 = 45 см. Ответ: BD = 45 см.