Задача 2: Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Радиус круга, вписанного в правильный шестиугольник, равен апофеме этого шестиугольника. Апофема правильного шестиугольника связана со стороной $$a$$ формулой $$r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$. В нашем случае $$a = 10$$ см, следовательно, радиус вписанного круга $$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3}$$ см. Площадь круга вычисляется по формуле $$S = \pi r^2$$. Подставляем найденный радиус: $$S = \pi (5\sqrt{3})^2 = \pi (25 \cdot 3) = 75\pi$$ см$$^2$$. **Ответ: $$75\pi$$ см$$^2$$**