Задача 5: Сторона треугольника равна $$8\sqrt{2}$$ см, а прилежащие к ней углы равны $$35^{\circ}$$ и $$100^{\circ}$$. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Пусть $$a = 8\sqrt{2}$$ см – сторона треугольника, $$\alpha = 35^{\circ}$$, $$\beta = 100^{\circ}$$. Тогда $$\gamma = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 100^{\circ} = 45^{\circ}$$. По теореме синусов: $$\frac{a}{\sin(\gamma)} = 2R$$, где $$R$$ – радиус описанной окружности. $$2R = \frac{8\sqrt{2}}{\sin(45^{\circ})} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 16$$, следовательно, $$R = 8$$ см. Длина дуги окружности радиуса $$R$$, опирающейся на угол $$\varphi$$ (в градусах), равна $$l = \frac{\pi R \varphi}{180}$$. Дуги, на которые делят окружность вершины треугольника, соответствуют углам $$\alpha = 35^{\circ}$$, $$\beta = 100^{\circ}$$, $$\gamma = 45^{\circ}$$. $$l_1 = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 35}{180} = \frac{280\pi}{180} = \frac{14\pi}{9}$$ см. $$l_2 = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 100}{180} = \frac{800\pi}{180} = \frac{40\pi}{9}$$ см. $$l_3 = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 45}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi$$ см. **Ответ: $$\frac{14\pi}{9}$$ см, $$\frac{40\pi}{9}$$ см, $$2\pi$$ см**