Задача 6: Углы квадрата со стороной 8 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону образовавшегося восьмиугольника.

Пусть сторона квадрата равна $$a = 8$$ см. Пусть сторона правильного восьмиугольника равна $$x$$. Тогда при срезании углов квадрата образуются равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами $$y$$. Сторона квадрата равна $$x + 2y = a$$. Так как треугольники равнобедренные и прямоугольные, то $$y = \frac{x}{\sqrt{2}}$$. Следовательно, $$x + 2\frac{x}{\sqrt{2}} = a$$, или $$x(1 + \sqrt{2}) = a$$. $$x = \frac{a}{1 + \sqrt{2}} = \frac{8}{1 + \sqrt{2}} = \frac{8( \sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{8( \sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 8(\sqrt{2} - 1)$$ см. **Ответ: $$8(\sqrt{2} - 1)$$ см**