Задача 4: Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника – 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

1) Пусть $$r$$ – радиус вписанной окружности, $$R$$ – радиус описанной окружности, а $$a$$ – сторона правильного $$n$$-угольника. Тогда $$r = 5$$ см и $$a = 10$$ см. Известно, что $$r = R \cos(\frac{\pi}{n})$$. Также $$a = 2R \sin(\frac{\pi}{n})$$. Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{a}{r} = \frac{2R \sin(\frac{\pi}{n})}{R \cos(\frac{\pi}{n})} = 2 \tan(\frac{\pi}{n})$$. $$\frac{10}{5} = 2 \tan(\frac{\pi}{n})$$, следовательно, $$\tan(\frac{\pi}{n}) = 1$$. Значит, $$\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$$, и $$n = 4$$. Итак, многоугольник – квадрат. Тогда радиус описанной окружности $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$ см. 2) Количество сторон многоугольника $$n = 4$$. **Ответ: 1) $$5\sqrt{2}$$ см; 2) 4**