Задача 3: Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$, равен $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$. В нашем случае $$a = 18$$ см, следовательно, $$r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$ см. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $$b$$, равен $$R = \frac{b\sqrt{2}}{2}$$. Так как окружность одна и та же, то $$R = r$$, следовательно, $$\frac{b\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}$$. $$b = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6}$$ см. **Ответ: $$3\sqrt{6}$$ см**