Задача 5: Углы треугольника АВС относятся так: ∠A : ∠B : ∠C= 1 : 2 : 3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому: x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30° Значит, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. Треугольник ABC - прямоугольный. Так как ВМ - биссектриса угла В, то ∠ABM = ∠CBM = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠A = 30°, ∠ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 6. Поскольку ∠C = 90°, то сторона AC является катетом, противолежащим углу B. Найдем AC: tg(∠B) = AC / BC tg(60°) = AC / BC √3 = AC / BC AC = BC * √3 Также, нам известно, что AM = 6, и так как M лежит на AC, то AC = AM + MC, или AC = 6 + MC. Угол BMC = 180 - 90 - 30 = 60 градусов, значит BMC - равносторонний и MC = BM = 6 Ответ: 6