Задача 4. Запишите сумму или разность в виде дроби: a) \(\frac{1}{x^{2}-8 x+12}+\frac{1}{10 x-60}\) в) \(\frac{1}{2 x-9}-\frac{1}{x^{2}-9 x+20}\) б) \(\frac{1}{x^{2}-9 x+20}-\frac{1}{x+3}\)

a) \(\frac{1}{x^{2}-8 x+12}+\frac{1}{10 x-60}\)

Разложим знаменатели на множители:

\(x^2 - 8x + 12 = (x - 6)(x - 2)\)

\(10x - 60 = 10(x - 6)\)

Приведем дроби к общему знаменателю \(10(x - 6)(x - 2)\):

\(\frac{1}{(x-6)(x-2)} + \frac{1}{10(x-6)} = \frac{10 + (x - 2)}{10(x-6)(x-2)} = \frac{10 + x - 2}{10(x-6)(x-2)} = \frac{x + 8}{10(x-6)(x-2)}\)

Ответ: \(\frac{x + 8}{10(x-6)(x-2)}\)

в) \(\frac{1}{2 x-9}-\frac{1}{x^{2}-9 x+20}\)

Разложим знаменатель второй дроби на множители:

\(x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\)

Исходное выражение: \(\frac{1}{2x-9} - \frac{1}{(x-4)(x-5)}\). Данное выражение не упрощается, так как знаменатели не имеют общих множителей.

Ответ: \(\frac{1}{2x-9} - \frac{1}{(x-4)(x-5)}\)

б) \(\frac{1}{x^{2}-9 x+20}-\frac{1}{x+3}\)

Разложим знаменатель первой дроби на множители:

\(x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\)

Приведем дроби к общему знаменателю \((x - 4)(x - 5)(x+3)\):

\(\frac{1}{(x-4)(x-5)} - \frac{1}{x+3} = \frac{(x+3) - (x-4)(x-5)}{(x-4)(x-5)(x+3)} = \frac{x + 3 - (x^2 - 5x - 4x + 20)}{(x-4)(x-5)(x+3)} = \)

\(=\frac{x + 3 - x^2 + 9x - 20}{(x-4)(x-5)(x+3)} = \frac{-x^2 + 10x - 17}{(x-4)(x-5)(x+3)}\)

Ответ: \(\frac{-x^2 + 10x - 17}{(x-4)(x-5)(x+3)}\)