Задача 1. На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка К, так что АВ = АК. Докажите, что ВК - биссектриса угла АВС. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АВ = 12 см, КД = 7 см.

Задача 1. Параллелограмм

Доказательство:

1. По условию, АВСД - параллелограмм. Следовательно, \( AB ≥ CD \), \( BC ≥ AD \), \( AB ≥ CD \) и \( BC ≥ AD \). Также \( AB ≥ CD \) и \( BC ≥ AD \) и \( ∠ A + ∠ B = 180^\circ \), \( ∠ B + ∠ C = 180^\circ \) и т.д.
2. По условию, \( AB = AK \).
3. Рассмотрим треугольник АВК. Так как \( AB = AK \), он является равнобедренным.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( ∠ ABK = ∠ AKB \).
5. Так как АВСД - параллелограмм, \( AD ≥ BC \) и \( AB ≥ CD \).
6. \( ∠ A \) и \( ∠ ABC \) - соседние углы, их сумма 180°.
7. \( ∠ A \) и \( ∠ B \) - односторонние углы при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AB \).
8. \( AB ≥ CD \) и \( AD ≥ BC \).
9. \( ∠ AKB \) и \( ∠ KBC \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( BK \).
10. Следовательно, \( ∠ AKB = ∠ KBC \).
11. Так как \( ∠ ABK = ∠ AKB \) (из равнобедренности \( Δ ABK \)) и \( ∠ AKB = ∠ KBC \) (накрест лежащие), то \( ∠ ABK = ∠ KBC \).
12. Это означает, что ВК делит угол АВС пополам, следовательно, ВК - биссектриса угла АВС.

Нахождение периметра:

1. По условию \( AB = 12 \) см.
2. Так как АВСД - параллелограмм, \( CD = AB = 12 \) см.
3. По условию \( KD = 7 \) см.
4. \( AD = AK + KD \).
5. Так как \( AB = AK \), то \( AK = 12 \) см.
6. \( AD = 12 + 7 = 19 \) см.
7. Так как АВСД - параллелограмм, \( BC = AD = 19 \) см.
8. Периметр параллелограмма \( P = 2(AB + AD) \).
9. \( P = 2(12 + 19) = 2(31) = 62 \) см.

Ответ: Периметр параллелограмма АВСД равен 62 см.