Задача 5. В прямоугольнике KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке Е. Найдите сторону KP, если МЕ = 11 см, а периметр прямоугольника KMNP равен 62 см.

Задача 5. Прямоугольник

Дано:

• Прямоугольник KMNP.
• Биссектриса угла MKP пересекает MN в точке Е.
• \( ME = 11 \) см.
• Периметр KMNP равен \( P = 62 \) см.

Найти: Сторону KP.

Решение:

1. В прямоугольнике KMNP \( ∠ M = ∠ N = ∠ P = ∠ K = 90^\circ \). \( KM = NP \) и \( MN = KP \).
2. Биссектриса угла MKP делит угол пополам: \( ∠ MKE = ∠ EPK \).
3. Рассмотрим треугольник MEK. \( ∠ M = 90^\circ \). \( ∠ MEK \) и \( ∠ KEM \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( KM \) и \( NP \) и секущей \( KE \).
4. Так как \( KM ≥ NP \) и \( MN \) - секущая, \( ∠ MKE = ∠ KEM \) (накрест лежащие).
5. Из того, что \( KE \) - биссектриса, \( ∠ MKE = ∠ EPK \).
6. Следовательно, \( ∠ KEM = ∠ EPK \).
7. В треугольнике MEP, \( ∠ MEP = ∠ KEM \) (вертикальные углы).
8. Рассмотрим треугольник MEK. \( ∠ M = 90^\circ \). \( ∠ MKE = ∠ KEM \) (из равенства накрест лежащих углов и биссектрисы).
9. Значит, треугольник MEK равнобедренный, и \( KM = ME = 11 \) см.
10. Так как \( KM = NP \), то \( NP = 11 \) см.
11. Периметр прямоугольника \( P = 2(KM + KP) \).
12. \( 62 = 2(11 + KP) \).
13. \( 31 = 11 + KP \).
14. \( KP = 31 - 11 = 20 \) см.
15. Так как \( KP = MN \), то \( MN = 20 \) см.
16. Проверка: \( ME = 11 \) см. \( EN = MN - ME = 20 - 11 = 9 \) см.
17. В треугольнике ENP: \( ∠ N = 90^\circ \). \( ∠ NPE = ∠ KPE \) (биссектриса). \( ∠ NEP = ∠ NPE \) (накрест лежащие).
18. Треугольник NEP равнобедренный, \( EN = NP = 9 \) см.
19. Но мы получили \( KM = 11 \) см, что означает \( NP = 11 \) см.
20. Есть противоречие. Пересмотрим условие.
21. Биссектриса угла MKP пересекает сторону MN.
22. В прямоугольнике KMNP, \( KM ≥ NP \) и \( MN ≥ KP \).
23. \( ∠ K = 90^\circ \). KE - биссектриса, значит \( ∠ MKE = ∠ EPK = 45^\circ \).
24. В треугольнике KME: \( ∠ M = 90^\circ \), \( ∠ MKE = 45^\circ \). Тогда \( ∠ KEM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
25. Следовательно, треугольник KME равнобедренный: \( KM = ME = 11 \) см.
26. Так как KMNP - прямоугольник, \( KM = NP = 11 \) см.
27. Периметр \( P = 2(KM + KP) \).
28. \( 62 = 2(11 + KP) \).
29. \( 31 = 11 + KP \).
30. \( KP = 31 - 11 = 20 \) см.
31. Сторона KP равна 20 см.

Ответ: Сторона KP равна 20 см.