Задача 2. В прямоугольнике АВСД сторона АВ равна 12 см, а угол АВД равен 60°. Найдите диагональ АС.

Задача 2. Прямоугольник

Дано:

• Прямоугольник АВСД.
• \( AB = 12 \) см.
• \( ∠ ABD = 60^\circ \).

Найти: Диагональ АС.

Решение:

1. В прямоугольнике АВСД диагонали равны: \( AC = BD \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. \( ∠ BAD = 90^\circ \).
3. Известен катет \( AB = 12 \) см и прилежащий к нему угол \( ∠ ABD = 60^\circ \).
4. Мы можем найти диагональ BD, которая является гипотенузой в треугольнике ABD, используя тангенс угла: \[ \tan(∠ ABD) = \frac{AD}{AB} \]
5. \( \tan(60^\circ) = \frac{AD}{12} \)
6. \( AD = 12 \tan(60^\circ) = 12√3 \) см.
7. Теперь найдем диагональ BD (гипотенузу) по теореме Пифагора: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]
8. \( BD^2 = 12^2 + (12√3)^2 = 144 + 144 \times 3 = 144 + 432 = 576 \)
9. \( BD = √576 = 24 \) см.
10. Так как \( AC = BD \), то \( AC = 24 \) см.

Ответ: Диагональ АС равна 24 см.