Задача 1: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 66, AC = 44, MN = 24. Найдите AM.

Решение: Так как MN || AC, треугольники ABC и MBN подобны по двум углам (угол B общий, углы BAC и BMN равны как соответственные при параллельных прямых AC и MN и секущей AB). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC}\] Обозначим AM за x. Тогда MB = AB - AM = 66 - x. Пропорция примет вид: \[\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}\] \[\frac{66 - x}{66} = \frac{24}{44}\] Решим уравнение: \[(66 - x) \cdot 44 = 24 \cdot 66\] \[2904 - 44x = 1584\] \[44x = 2904 - 1584\] \[44x = 1320\] \[x = \frac{1320}{44}\] \[x = 30\] Ответ: AM = 30.