Задача 2: Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 11, AD = 15, AC = 52. Найдите AO.

Решение: Треугольники BOC и DOA подобны, так как углы BOC и DOA равны как вертикальные, а углы BCO и DAO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}\] Пусть AO = x, тогда OC = AC - AO = 52 - x. Подставим известные значения в пропорцию: \[\frac{x}{52 - x} = \frac{15}{11}\] Решим уравнение: \[11x = 15(52 - x)\] \[11x = 780 - 15x\] \[26x = 780\] \[x = \frac{780}{26}\] \[x = 30\] Ответ: AO = 30.