Задача 3: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 16, MN = 12. Площадь треугольника ABC равна 80. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение: Треугольники ABC и MBN подобны (как и в первой задаче). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: \[k = \frac{MN}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\] Пусть S_ABC - площадь треугольника ABC, а S_MBN - площадь треугольника MBN. Тогда: \[\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2\] \[\frac{S_{MBN}}{80} = (\frac{3}{4})^2\] \[\frac{S_{MBN}}{80} = \frac{9}{16}\] \[S_{MBN} = 80 \cdot \frac{9}{16}\] \[S_{MBN} = 5 \cdot 9\] \[S_{MBN} = 45\] Ответ: Площадь треугольника MBN равна 45.