Задача 1 (прямоугольник и биссектриса). В прямоугольнике ABCD диагональ AC образует со стороной AB угол 25°. Точка O — точка пересечения диагоналей. Найдите угол AOB.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OA = OB. Треугольник AOB равнобедренный.

Так как AB ∥ CD, угол между диагональю AC и AB равен 25°. Угол при вершине A треугольника AOB равен 180° − 25° = 155°? Уточним: луч AO направлен противоположно лучу AC, поэтому угол OAB равен 180° − 25° = 155° — это невозможно для треугольника вместе с равными основаниями. Для стандартного расположения прямоугольника угол между лучами AB и AC равен 25°, а угол между лучами AB и AO не используется: угол OAB образован лучами AO и AB и равен 155° только если A — конец диагонали, но O лежит на AC, следовательно AO направлен вдоль AC. Значит, угол OAB = 25°.

Тогда угол ABO = 25°, и по сумме углов треугольника:

∠AOB = 180° − 25° − 25° = 130°.

Ответ: 130°.