Задача 4 (доказательство, прямоугольник). Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором AC = BD. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD и BC = AD.

1. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них AB — общая сторона, BC = AD, а AC = BD.
2. Треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам.
3. Следовательно, ∠ABC = ∠BAD. Эти углы — соседние углы параллелограмма, поэтому их сумма равна 180°.
4. Равные углы с суммой 180° каждый равны 90°.

Значит, параллелограмм имеет прямой угол и является прямоугольником.