Задача 12. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:3, считая от вершины острого угла. Найдите периметр параллелограмма, если его меньшая сторона равна 15.

Пусть меньшая сторона параллелограмма равна \(a\), а большая — \(b\). Биссектриса тупого угла пересекает противоположную сторону так, что её отрезки, считая от вершины острого угла, относятся как \(a:(b-a)\). По условию это отношение равно \(5:3\).

Следовательно, \(a/(b-a)=5/3\), поэтому \(3a=5b-5a\), откуда \(8a=5b\). При \(a=15\) получаем \(b=8\cdot15/5=24\).

Периметр равен \(2(a+b)=2(15+24)=78\).

Ответ: 78.