Задача 17. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC).
• Вписанная окружность касается стороны AC в точке K.
• AK = 25, KC = 3.

Найти: Периметр треугольника P.

Решение:

1. Свойства касательных, проведенных из одной точки: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
2. Обозначим точки касания: Пусть окружность касается AB в точке M, BC в точке N, AC в точке K.
3. Свойства равнобедренного треугольника и вписанной окружности: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Точка касания на основании делит его пополам, но в данной задаче касание происходит на боковой стороне.
4. Отрезки касательных:
• Из вершины C: CK = CN = 3.
• Из вершины A: AK = AM = 25.
• Из вершины B: BM = BN.
5. Длины сторон:
• Боковая сторона AB = AM + MB = 25 + BM.
• Боковая сторона BC = BN + NC = BN + 3.
• Так как AB = BC, то 25 + BM = BN + 3.
6. Найдем BM и BN: Поскольку BM = BN, то 25 + BM = BM + 3. Это уравнение не имеет решения, что указывает на неверное условие задачи или мое понимание. Давайте переформулируем: Отрезки от вершины, противолежащей основанию (вершина B), будут равны. Это значит, что отрезки от вершины, противолежащей основанию (вершины B), будут равны.
7. Переосмыслим условие: Окружность касается боковой стороны (например, BC) в точке N. Отрезки от вершины, противолежащей основанию (т.е. от вершины A, если боковая сторона AB), будут равны.
8. Давайте предположим, что деление происходит на боковой стороне AB, и отрезки считаются от вершины A: AM = 25, MB = 3.
9. Тогда:
• AK = AM = 25.
• CK = AC - AK = AC - 25.
• CN = CK.
• BN = MB = 3.
• BC = BN + NC = 3 + CK = 3 + (AC - 25).
• AB = AM + MB = 25 + 3 = 28.
• Так как треугольник равнобедренный, AB = BC.
• 28 = 3 + (AC - 25) => 28 = AC - 22 => AC = 50.
• Стороны: AB = 28, BC = 28, AC = 50.
• Периметр: P = 28 + 28 + 50 = 106.
10. Рассмотрим другой вариант: Отрезки от вершины, противолежащей основанию (т.е. от вершины B). Пусть окружность касается AC в точке K. Это невозможно, так как K - точка касания на основании.
11. Вернемся к условию: "...делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию."
12. Это означает, что отрезки считаются от вершины A, если мы рассматриваем боковую сторону AB, или от вершины C, если мы рассматриваем боковую сторону BC.
13. Пусть боковая сторона AB касается окружности в точке M. Отрезки AM и MB.
14. Если считаем от вершины, противолежащей основанию (B), то это значит, что отрезки, исходящие из B, равны.
15. Давайте предположим, что окружность касается боковой стороны AC (основание) в точке K. Тогда отрезки от вершины, противолежащей основанию, т.е. от B, не имеют прямого отношения к точкам касания на основании.
16. Итак, снова: Окружность вписана в равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). Она касается боковой стороны AB в точке M, а основания AC в точке K.
17. По условию, точка касания на боковой стороне делит ее на отрезки 25 и 3.
18. Отрезки касательных из одной точки равны:
• Из A: AM = AK = 25.
• Из C: CK = CN = 3.
• Из B: BM = BN.
19. Таким образом, мы имеем:
• Боковая сторона AB = AM + MB = 25 + MB.
• Боковая сторона BC = BN + NC = BN + 3.
• Основание AC = AK + KC = 25 + 3 = 28.
20. Так как AB = BC, то 25 + MB = BN + 3.
21. Так как BM = BN, то 25 + BM = BM + 3. Это снова дает противоречие.
22. Перечитываем условие: "...делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию."
23. Это означает, что вершины A и C являются концами основания, а B - вершина, противолежащая основанию.
24. Точка касания находится на боковой стороне (например, AB). Отрезки от вершины B будут равны.
25. Пусть точка касания на AB - M, на BC - N, на AC - K.
26. BM = BN = 3 (от вершины B).
27. AM = AB - BM = AB - 3.
28. AB = BC, значит, AN = AB - 3.
29. CK = CN = BC - BN = BC - 3.
30. AK = AC - CK.
31. Так как AK = AM, то AC - CK = AB - 3.
32. AC - (BC - 3) = AB - 3.
33. AC - BC + 3 = AB - 3.
34. Так как AB = BC, то AC - AB + 3 = AB - 3 => AC + 6 = 2 * AB.
35. Также, AK = AM = 25.
36. Значит, AM = 25, MB = 3. Боковая сторона AB = 25 + 3 = 28.
37. BC = AB = 28.
38. BN = 3, тогда NC = BC - BN = 28 - 3 = 25.
39. CK = NC = 25.
40. AK = AB - AM = 28 - 25 = 3.
41. Основание AC = AK + KC = 3 + 25 = 28.
42. Итак, стороны: 28, 28, 28. Это равносторонний треугольник.
43. Периметр: 28 + 28 + 28 = 84.
44. Проверим условие: "...делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию."
45. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC), вершина, противолежащая основанию AC, это B.
46. Пусть окружность касается боковой стороны AB в точке M. Тогда отрезки от вершины B равны: BM = 3.
47. Тогда AM = 25.
48. Сторона AB = AM + MB = 25 + 3 = 28.
49. Тогда BM = 3.
50. Теперь рассмотрим боковую сторону BC. Точка касания N. BN = BM = 3.
51. NC = BC - BN = 28 - 3 = 25.
52. Основание AC. Точка касания K. AK = AM = 25. KC = CN = 25.
53. AC = AK + KC = 25 + 25 = 50.
54. Стороны треугольника: AB = 28, BC = 28, AC = 50.
55. Периметр: 28 + 28 + 50 = 106.
56. Проверим условие: "...делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию."
57. Если считать от вершины B, то отрезки от B до точки касания на боковой стороне равны.
58. Пусть окружность касается AB в точке M. BM = 3. Тогда AM = 25. AB = 28.
59. Аналогично, на BC, BN = 3, NC = 25. BC = 28.
60. На основании AC, AK = AM = 25, KC = CN = 25. AC = 50.
61. Периметр = 28 + 28 + 50 = 106.
62. Что если считать от вершин A и C?
63. Если отрезки от A равны 25, а от C равны 3, и точка касания на боковой стороне.
64. Пусть окружность касается AB в точке M.
65. AM = 25, MB = 3. AB = 28.
66. AK = 25, KC = 3. AC = 28.
67. BN = MB = 3. NC = BC - 3.
68. BC = AB = 28. BN = 3, NC = 25.
69. В этом случае стороны: 28, 28, 28. Периметр 84.
70. Условие: "...считая от вершины, противолежащей основанию." Вершина B.
71. Значит, отрезки от B до точек касания на боковых сторонах равны.
72. Пусть точки касания на AB и BC - M и N соответственно. BM = BN.
73. Пусть точка касания на AC - K.
74. Из условия: "...делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3".
75. Пусть эти отрезки на боковой стороне AB: AM = 25, MB = 3.
76. Тогда AB = 25 + 3 = 28.
77. Так как BM = BN, то BN = 3.
78. Так как AM = AK, то AK = 25.
79. Так как MB = ?, это не так. AM = AK. BM = BN. CN = CK.
80. Пусть точка касания на боковой стороне AB - M. Отрезки AM и MB.
81. Пусть вершина, противолежащая основанию - B.
82. Значит, отрезки, исходящие из B, равны: BM = BN.
83. Из условия: "...делит ... одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию."
84. Это значит, что отрезки, считая от B, равны.
85. Пусть точка касания на AB - M. Отрезки MB и AM.
86. Если считаем от B, то MB = 3. Тогда AM = 25.
87. AB = AM + MB = 25 + 3 = 28.
88. Так как BM = BN, то BN = 3.
89. BC = BN + NC.
90. Так как AM = AK, то AK = 25.
91. Так как CN = CK, то CK = BC - BN = BC - 3.
92. AC = AK + KC = 25 + (BC - 3).
93. Так как AB = BC, то AC = 25 + (AB - 3) = AB + 22.
94. Периметр P = AB + BC + AC = AB + AB + (AB + 22) = 3 * AB + 22.
95. P = 3 * 28 + 22 = 84 + 22 = 106.

Ответ: 106