Задача 19. В треугольнике АВС ВС=√145, угол C равен 90°. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 8,5. Найдите АС.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90°.
• BC = √145.
• Радиус описанной окружности R = 8.5.

Найти: AC.

Решение:

1. Свойство прямоугольного треугольника, вписанного в окружность: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы. Диаметр описанной окружности равен гипотенузе.
2. Гипотенуза: В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу. В данном случае гипотенуза AB.
3. Связь радиуса и гипотенузы: Диаметр D = 2R. Гипотенуза AB = D = 2 * 8.5 = 17.
4. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB^2 = AC^2 + BC^2.
5. Подставляем известные значения: 17^2 = AC^2 + (√145)^2.
6. Вычисляем: 289 = AC^2 + 145.
7. Находим AC^2: AC^2 = 289 - 145 = 144.
8. Находим AC: AC = √144 = 12.

Ответ: 12