Задача 20. Рис. 5.18. Дано: ∠ 2 - ∠ 1 = 38°. Найти: ∠ 3, ∠ 4.

Решение:

Углы ∠ 1 и ∠ 3 являются вертикальными, следовательно, \( ∠ 1 = ∠ 3 \).

Углы ∠ 2 и ∠ 4 являются вертикальными, следовательно, \( ∠ 2 = ∠ 4 \).

Углы ∠ 1 и ∠ 2 являются смежными, так как образуют развернутый угол. Значит, \( ∠ 1 + ∠ 2 = 180° \).

По условию дано: \( ∠ 2 - ∠ 1 = 38° \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( ∠ 1 + ∠ 2 = 180° \)
2. \( ∠ 2 - ∠ 1 = 38° \)

Сложим оба уравнения:

\( (∠ 1 + ∠ 2) + (∠ 2 - ∠ 1) = 180° + 38° \)

\( 2 * ∠ 2 = 218° \)

\( ∠ 2 = 218° / 2 = 109° \)

Теперь найдем ∠ 1, используя первое уравнение:

\( ∠ 1 + 109° = 180° \)

\( ∠ 1 = 180° - 109° = 71° \)

Так как \( ∠ 3 = ∠ 1 \) и \( ∠ 4 = ∠ 2 \), то:

\( ∠ 3 = 71° \)

\( ∠ 4 = 109° \)

Проверка: \( ∠ 2 - ∠ 1 = 109° - 71° = 38° \) (соответствует условию).

Ответ: ∠ 3 = 71°, ∠ 4 = 109°.