Задача 3: Диагональ AC прямоугольной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см.

1. В прямоугольной трапеции ABCD, AC ⊥ CD и ∠CAD = 60°. Значит, ∠ACD = 90°, и мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ACD. 2. В треугольнике ACD, ∠CAD = 60°, следовательно, ∠CDA = 30° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и ∠ACD = 90°). 3. Зная AD = 24 см, можно найти CD. Так как в прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то CD = AD/2 = 24/2 = 12 см. 4. Теперь найдем высоту BC, которая равна CD, то есть BC = 12 см. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол ∠BAC = 90° - 60° = 30°. Следовательно, BC = 1/2 * AC. В то же время, AC = AD*cos60 = 24 * (\sqrt{3}/2)= 12√3 см. Но тк BC - это катет против 30° тогда AC/cos30=AB. AC/ (\sqrt{3}/2) = AB; 12√3/(√3/2)= 24 см 6. AD - BC / tg (30) = разница между основаниями 24-12/1/ √3 = 12√3 см - BC =AD- 12 √3 7. Подставляем значения в формулу площади трапеции: S= 1/2 (AD + BC)*CD = 1/2*(AD + (AD - 12√3))*12= Ответ: 1/2(24 + 4√3) *12 примерно равно 145кв.см