Задача 3: Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол ВОА, если угол АОВ равен 65°.

Дано: Прямоугольник ABCD, диагонали пересекаются в точке O, \(\angle\) AOB = 65°. Найти: \(\angle\) BOA. Решение: 1. \(\angle\) AOB и \(\angle\) BOC - смежные, а значит в сумме дают 180°. 2. \(\angle\) BOC = 180° - \(\angle\) AOB = 180° - 65° = 115°. 3. В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит BO = AO. 4. Треугольник AOB - равнобедренный, углы при основании равны \(\angle\) OAB = \(\angle\) OBA. 5. \(\angle\) OAB + \(\angle\) OBA + \(\angle\) AOB = 180°. \(2\cdot \angle\) OAB = 180° - 65° = 115°. 6. \(\angle\) OAB = 115°/2 = 57.5°. Так как \(\angle\) OAB = \(\angle\) OBA = 57.5°, то искомый \(\angle\) BOA = 65° (условие задачи). Так как нужно найти угол BOA, а угол AOB уже дан в условии (равен 65°), то вероятно вопрос задачи неверно сформулирован. Если имеется в виду угол, смежный к AOB, тогда \(\angle\) BOA = 180° - 65° = 115°. Ответ: \(\angle\) BOA = 65° (если искомый угол - AOB), \(\angle\) BOA = 115° (если искомый угол смежный к AOB).